数学界炸了!黎曼猜想将被证明?你却还不知道它是啥

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综合自:《黎曼猜想漫谈》、@Ent_evo等

数学圈子、科学圈子被一条消息刷屏了:菲尔兹和阿贝尔奖双料得主Michael Atiyah宣称自己证明了黎曼猜想,要在9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。



黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,由数学家黎曼于1859年提出。它有着无穷的魅力,就连希尔伯特都对黎曼猜想垂涎欲滴:“如果我沉睡一千年然后醒过来,第一个问题就是黎曼猜想是证明还是证伪了”。


微博上,果壳网编辑Ent_evo对黎曼猜想为大家进行了简单的科普:



不过,看底下的评论真的是让人啼笑皆非:




所以,黎曼猜想是什么?  


在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数:黎曼ζ函数(Riemann ζ function)。这个函数虽然挂着德国数学家黎曼(Bernhard Riemann,1826—1866)的大名,其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者,他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解,为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献,就用他的名字命名了这一函数。



远在黎曼之前,黎曼ζ函数(当然那时还不叫这名字)的级数表达式就已经出现在了数学文献中, 但正如我们在正文中所注,那级数表达式的定义域较小,即只适用于复平面上Re(s)>1的区域。黎曼把黎曼ζ函数的定义域大大地延拓了,这一点不仅对于它的应用有着重要意义,对于黎曼猜想的表述及研究更是至关重要(因为黎曼猜想所涉及的非平凡零点全都在级数表达式的定义域之外)。仅凭这一点,即便把黎曼称为黎曼ζ函数的提出者之一,也并不过分。


那么究竟什么是黎曼ζ函数呢?简单地说,它的定义是这样的:黎曼ζ函数ζ(s)是级数表达式(n为正整数)


ζ(s)=∑nn-s(Re(s)>1)


在复平面上的解析延拓(analytic continuation)。之所以要对上述级数表达式进行解析延拓,是因为——如我们已经注明的——这一表达式只适用于复平面上s的实部Re(s)>1的区域(否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓(当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语)。运用围道积分(contour integral),解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为


ζ(s)=Γ(1-s)2πi∫∞∞(-z)sez-1dzz


这里我们采用的是历史文献中的记号,式中的积分实际上是一个环绕正实轴(即从+∞出发,沿实轴上方积分至原点附近,环绕原点积分至实轴下方,再沿实轴下方积分至+∞——离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于0)进行的围道积分;式中的Γ函数Γ(s)是阶乘函数在复平面上的解析延拓,对于正整数s>1:  Γ(s)=(s-1)!。可以证明,上述ζ(s)的积分表达式除了在s=1处有一个简单极点(simple pole)外,在整个复平面上处处解析。这样的表达式是所谓的亚纯函数(meromorphic function)——即除了在一个孤立点集(set of isolated points)上存在极点(pole)外,在整个在复平面上处处解析的函数——的一个例子。这就是黎曼ζ函数的完整定义。


运用上面的积分表达式可以证明,黎曼ζ函数满足以下代数关系式——也叫函数方程(functional equation):


ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)s-1sinπs2ζ(1-s)


从这个关系式中不难发现,黎曼ζ函数在s=-2n(n为正整数)处取值为零——因为sin(πs/2)为零。sin(πs/2)在s=0及s=2n(n为正整数)时也为零, 但是在s=0时ζ(1-s)有极点,s=2n(n为正整数)时Γ(1-s)有极点。因此只有在s=-2n(n为正整数)时才可以由sin(πs/2)=0直接推知黎曼ζ函数的取值为零,s=0及s=2n(n为正整数)时的取值则需进一步分析(分析的结果是非零)。复平面上的这种使黎曼ζ函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。因此s=-2n(n为正整数)是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序、性质简单,称为黎曼ζ函数的平凡零点(trivial zero)。除了这些平凡零点外,黎曼ζ函数还有许多其他零点,它们的性质远比那些平凡零点来得复杂,被恰如其分地称为非平凡零点(nontrivial zero)。对黎曼ζ函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的黎曼猜想就是一个关于这些非平凡零

点的猜想,在这里我们先把它的内容表述一下,然后再叙述它的来龙去脉。


黎曼猜想:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。


在黎曼猜想的研究中,数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为临界线(critical line)。运用这一术语,黎曼猜想也可以表述为:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于临界线上。


这就是黎曼猜想的内容,它是黎曼在1859年提出的。从其表述上看,黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题,但它其实是一曲有关素数分布的神秘乐章。


以上关于黎曼猜想的介绍,都是出自一本书,如果想更多了解黎曼猜想,那不妨看看:


《黎曼猜想漫谈》



这是一本国内的数学科普书,作者以极其明晰的数学阐释文字与行文优雅、生动的传记和历史篇章交替出现,对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述,即便你看不懂里面的数学描述,其他部分的内容也足够抓住你的心,你能看到百年间全世界的精英数学家一步步逼近最后的证明。



豆瓣书评:


@匿名:最棒的国产数学科普书,没有之一。

@Psyche:这本书的妙处是,适合广泛的读者群。有点理论基础和充沛脑力的,可以耐心研读琢磨;只想知道大概的,可以从那些妙趣横生的小故事里找到传奇;无论是理性的还是感性的人,都能领略到数学的美和神奇。

@ ifly:如果你是一名数学文化爱好者,这部书绝对可以是你的首选,如果你想入门了解数学世界的奥秘,相信本书通俗有趣的语言可以让你有所收获。

@一方:原以为科普书都是简单易懂的。拿到这本书,发现我只能读懂封面,里外比较多的数学术语及公式,概念。非大众读物,非专业不要入手。



24日黎曼猜想能否被完全证实?


黎曼猜想从提出到现在已有100多年,黎曼猜想的藤蔓早已从数学界跨越到物理学界。黎曼猜想是数学界一直传说的七大“千禧问题,因此它的重要不言而喻,也早已被克雷数学研究所列为世界黄金问题之一。


费马猜想时隔三个半世纪以上才被解决,哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比,黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远,但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。


因此,黎曼猜想如论是被证明还是被证伪,也都将会是数学史上一次伟大而又不可磨灭的大事件。让我们一起期待著名数学家 Michael Atiyah 在9月24日将会进行的“证明黎曼猜想”的报告吧!

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