神一样的随机算法

来自:是不是很酷,作者:liuyubobobo

之前,在我的文章《如何把技术做深?可能,这是一个错误的问题》中,我谈到了对问题定义的重要性。很多时候,面对很多问题,我们思考的方向,并非是怎么解决,而是,我们要解决的问题究竟是什么


不过,在那篇文章中,我举的例子,都是很抽象的例子,比如“如何把技术做深?”,“如何学英语?”,“如何成功?”。但其实,在具体的技术领域,也是如此。


这篇文章,我们从一道经典面试题开始来探讨这个问题。这个面试题有很多形式,但其实背后的算法是一致的。


这个问题是:


设计一个公平的洗牌算法



1.


看问题,洗牌,显然是一个随机算法了。随机算法还不简单?随机呗。把所有牌放到一个数组中,每次取两张牌交换位置,随机 k 次即可。


如果你的答案是这样,通常面试官会进一步问一下,k 应该取多少?100?1000?10000?


很显然,取一个固定的值不合理。如果数组中有 1000000 个元素,随机 100 次太少;如果数组中只有 10 个元素,随机 10000 次又太多。一个合理的选择是,随机次数和数组中元素大小相关。比如数组有多少个元素,我们就随机多少次。


这个答案已经好很多了。但其实,连这个问题的本质都没有触及到。此时,面试官一定会狡黠地一笑:这个算法公平吗?


我们再看问题:设计一个公平的洗牌算法。



2.


问题来了,对于一个洗牌算法来说,什么叫“公平”?这其实是这个问题的实质,我们必须定义清楚:什么叫公平。


一旦你开始思考这个问题,才触及到了这个问题的核心。在我看来,不管你能不能最终给出正确的算法,如果你的思路是在思考对于洗牌算法来说,什么是“公平”,我都觉得很优秀。


因为背出一个算法是简单的,但是这种探求问题本源的思考角度,绝不是一日之功。别人告诉你再多次“要定义清楚问题的实质”都没用。这是一种不断面对问题,不断解决问题,逐渐磨炼出来的能力,短时间内无法培训。


这也是我经常说的,面试不是标准化考试,不一定要求你给出正确答案。面试的关键,是看每个人思考问题的能力。


说回我们的洗牌算法,什么叫公平呢?一旦你开始思考这个问题,其实答案不难想到。洗牌的结果是所有元素的一个排列。一副牌如果有 n 个元素,最终排列的可能性一共有 n! 个。公平的洗牌算法,应该能等概率地给出这 n! 个结果中的任意一个。


如思考到这一点,我们就能设计出一个简单的暴力算法了:对于 n 个元素,生成所有的 n! 个排列,然后,随机抽一个。


这个算法绝对是公平的。但问题是,复杂度太高。复杂度是多少呢?O(n!)。因为,n 个元素一共有 n! 种排列,我们求出所有 n! 种排列,至少需要 n! 的时间。


有一些同学对 O(n!) 没有概念。我本科时就闹过笑话,正儿八经地表示 O(n!) 并不是什么大不了不起的复杂度。实际上,这是一个比指数级 O(2^n) 更高的复杂度。因为 2^n 是 n 个 2 相乘;而 n! 也是 n 个数字相乘,但除了 1,其他所有数字都是大于等于 2 的。当 n>=4 开始,n! 以极快的的速度超越 2^n。


O(2^n) 已经被称为指数爆炸了。O(n!) 不可想象。


所以,这个算法确实是公平的,但是,时间不可容忍。



3.


我们再换一个角度思考“公平”这个话题。其实,我们也可以认为,公平是指,对于生成的排列,每一个元素都能等概率地出现在每一个位置。或者反过来,每一个位置都能等概率地放置每个元素。


这个定义和上面的最终洗牌结果,可以等概率地给出这 n! 个排列中的任意一个,是等价的。这个等价性,可以证明出来。并不难。如果正在学习概率论的同学,还比较习惯概率论处理问题的思想,应该能很快搞定:


基于这个定义,我们就可以给出一个简单的算法了。说这个算法简单,是因为他的逻辑太容易了,就一个循环:



这么简单的一个算法,可以保证上面我所说的,对于生成的排列,每一个元素都能等概率的出现在每一个位置。或者反过来,每一个位置都能等概率的放置每个元素。


大家可以先简单的理解一下这个循环在做什么。其实非常简单,i 从后向前,每次随机一个 [0...i] 之间的下标,然后将 arr[i] 和这个随机的下标元素,也就是 arr[rand() % (i + 1)] 交换位置。


大家注意,由于每次是随机一个 [0...i] 之间的下标,所以,我们的计算方式是 rand() % (i + 1),要对 i + 1 取余,保证随机的索引在 [0...i] 之间。


这个算法就是大名鼎鼎的 Knuth-Shuffle,即 Knuth 洗牌算法。


这个算法的原理,我们稍后再讲。先来看看 Knuth 何许人也?


中文名:高纳德。算法理论的创始人。我们现在所使用的各种算法复杂度分析的符号,就是他发明的。上世纪 60-70 年代计算机算法的黄金时期,近乎就是他一手主导的。他的成就实在太多,有时间单独发文介绍,但是,我觉得一篇文章是不够的,一本书还差不多。


大家最津津乐道的,就是他所写的《The Art of Computer Programming》,简称 TAOCP。这套书准备写七卷本,然后,到今天还没有写完,但已经被《科学美国人》评为可以媲美相对论的巨著。


微软是 IT 界老大的年代,比尔盖茨直接说,如果你看完了这套书的第一卷本,请直接给我发简历。



至于这套书为什么写的这么慢?因为老爷子写到一半,觉得当下的文字排版工具都太烂,于是转而发明出了现在流行的LaTex文字排版系统...


另外,老爷子可能觉得当下的编程语言都不能完美地表现自己的逻辑思想,还发明了一套抽象的逻辑语言,用于这套书中的逻辑表示...


下面这张照片是他年轻的时候。这张照片是我在斯坦福大学计算机学院的橱窗拍的。



下面的话和大家共勉:

A programmer who subconsciously views himself as an artist will enjoy what he does and will do it better.

 

Donald E. Knuth 1978


所以,我从来都不认为自己只是一名工程师而已。我是艺术家:



4.


是时候仔细的看一下,这个简单的算法,为什么能做到保证:对于生成的排列,每一个元素都能等概率的出现在每一个位置了。


其实,简单的吓人:)


在这里,我们模拟一下算法的执行过程,同时,对于每一步,计算一下概率值。


我们简单的只是用 5 个数字进行模拟。假设初始的时候,是按照 1,2,3,4,5 进行排列的。



那么,根据这个算法,首先会在这五个元素中选一个元素,和最后一个元素 5 交换位置。假设随机出了 2。



下面,我们计算 2 出现在最后一个位置的概率是多少?非常简单,因为是从 5 个元素中选的嘛,就是 1/5。实际上,根据这一步,任意一个元素出现在最后一个位置的概率,都是 1/5。





下面,根据这个算法,我们就已经不用管 2 了,而是在前面 4 个元素中,随机一个元素,放在倒数第二的位置。假设我们随机的是 3。3 和现在倒数第二个位置的元素 4 交换位置。



下面的计算非常重要。3 出现在这个位置的概率是多少?计算方式是这样的:



其实很简单,因为 3 逃出了第一轮的筛选,概率是 4/5,但是 3 没有逃过这一轮的选择。在这一轮,一共有4个元素,所以 3 被选中的概率是 1/4。因此,最终,3 出现在这个倒数第二的位置,概率是 4/5 * 1/4 = 1/5。


还是 1/5 !


实际上,用这个方法计算,任意一个元素出现在这个倒数第二位置的概率,都是 1/5。




相信聪明的同学已经了解了。我们再进行下一步,在剩下的三个元素中随机一个元素,放在中间的位置。假设我们随机的是 1。



关键是:1 出现在这个位置的概率是多少?计算方式是这样的:



即 1 首先在第一轮没被选中,概率是 4/5,在第二轮又没被选中,概率是 3/4 ,但是在第三轮被选中了,概率是 1/3。乘在一起,4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5。


用这个方法计算,任意一个元素出现在中间位置的概率,都是 1/5。




这个过程继续,现在,我们只剩下两个元素了,在剩下的两个元素中,随机选一个,比如是4。将4放到第二个位置。



然后,4 出现在这个位置的概率是多少?4 首先在第一轮没被选中,概率是 4/5;在第二轮又没被选中,概率是 3/4;第三轮还没选中,概率是 2/3,但是在第四轮被选中了,概率是 1/2。乘在一起,4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。


用这个方法计算,任意一个元素出现在第二个位置的概率,都是 1/5。





最后,就剩下元素5了。它只能在第一个位置呆着了。


那么 5 留在第一个位置的概率是多少?即在前 4 轮,5 都没有选中的概率是多少?


在第一轮没被选中,概率是 4/5;在第二轮又没被选中,概率是 3/4;第三轮还没选中,概率是 2/3,在第四轮依然没有被选中,概率是 1/2。乘在一起,4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。



算法结束。




你看,在整个过程中,每一个元素出现在每一个位置的概率,都是 1/5 !


所以,这个算法是公平的。


当然了,上面只是举例子。这个证明可以很容易地拓展到数组元素个数为 n 的任意数组。整个算法的复杂度是 O(n) 的。


通过这个过程,大家也可以看到,同样的思路,我们也完全可以从前向后依次决定每个位置的数字是谁。不过从前向后,代码会复杂一些,感兴趣的同学可以想一想为什么?自己实现一下试试看?


(因为生成 [0, i] 范围的随机数比生成 [i, n) 范围的随机数简单,直接对 i+1 求余就好了。


怎么样,是不是很酷?




5.


这个算法除了洗牌,还能怎么用?


其实,在很多随机的地方,都能使用。比如,扫雷生成随机的盘面。我们可以把扫雷的二维盘面先逐行连接,看作是一维的。之后,把 k 颗雷依次放在开始的位置。



然后,我们运行一遍 Knuth 洗牌算法,就搞定啦:



是不是很酷?


这就是我喜欢算法的原因。在我眼里,算法从来不是枯燥的逻辑堆砌,而是神一样的逻辑创造。


尽管这个世界很复杂,但竟也如此的简洁,优雅。


大家加油!

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