1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 一个级数问题的几何求解

来自:是不是很酷,作者:liuyubobobo

级数是高等数学中的一个非常重要的概念。在数学中,一个有穷或无穷序列的和,称为级数。


有穷级数,非常简单,因为是有穷的,用小学学习的加法运算,就可以求出。比如6, 60, 600,这个序列的级数是666。


比较难的是无穷级数,最典型的级数是等差级数(又叫算术级数)和等比级数(又叫几何级数)。


比如:1,2,3,4,5,... 是一个等差级数。


比如:1,2,4,8,16,... 是一个等比级数。其中,公比为2。


比如:1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,... 也是一个等比级数。其中,公比为 1/2。


对于无穷级数,有一个很重要的概念,就是级数的敛散性也就是一个无穷级数是发散的,还是收敛的。


所谓的收敛,就是存在一个“界”,这无穷项的和,肯定超不过这个“界”;如果不存在这个“界”,就称这个级数是发散的。


比如,1,2,3,4,5,... 是一个发散级数;


比如:1,2,4,8,16,... 是一个发散级数;


但是,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,... 是一个收敛级数。这个级数的“界”是1。也就是这串数字按照这样的趋势继续下去,无穷项的和,一定是小于1的。无论如何,都超不过1这个“界”。


通过定义,大家也能想到了,由于我们是在考虑无穷项的和的问题,所以严格地使用数学语言,我们要想证明这个“界”,需要使用“极限”的概念。


实际上,极限是大家在本科学习高等数学所接触的第一个概念,是微分,积分,这一套数学工具的根基,是初等数学和高等数学的重要分水岭。


不过,在这篇文章中,我将使用几何的方式,证明1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,... 这个序列的和,一定不会超过1这个“界”:





其实非常简单。首先,我们把每一个数字想成是一个矩形的面积。那么我们可以先画一个边长为1的正方形。它的面积就是1。



下面,我们将看到,这个面积为1的正方形,可以盛放面积为1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,...的矩形,无数多个!


首先,我们放一个面积为1/2的矩形,非常简单,将这个正方形一分为2,一半的面积就是1/2。



然后,我们再放一个面积为1/4的矩形,将剩下的1/2再一分为2,其中一半的面积,就是1/2的1/2,即1/4。



相信聪明的同学们都已经会了。我们再放一个面积为1/8的矩形,只需要将剩下1/4面积再一分为2,其中的一半面积,就是1/4的1/2,即1/8。



这个过程可以一直下去。我们再放一个1/16的矩形:



再放一个1/32的矩形......



可以看出来,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,... 这个数列的每一个数所表示的矩阵,可以无穷无尽地放到这个大小为1的正方形中。


所以,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,... 这个级数是收敛的,结果为1:




对了,和《如何优雅地证明平方差公式?的配图一样,这篇文章的配图也都是我在ipad上手绘出来的。虽然很简单,但允许我再次炫耀一下 


怎么样,是不是很酷?


大家加油!


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