单调队列解决滑动窗口问题

来自:labuladong(微信号:labuladong),作者:fdl

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前文讲了一种特殊的数据结构 单调栈 Monotonic Stack 的使用,解决了一类问题「Next Greater Number」,本文写一个类似的数据结构「单调队列」。


也许这种数据结构的名字你没听过,其实没啥难的,就是一个「队列」,只是使用了一点巧妙的方法,使得队列中的元素单调递增(或递减)。


这个数据结构有什么用?可以解决滑动窗口的一系列问题。看一道 LeetCode 题目,难度 Hard



一、搭建解题框架


这道题不复杂,难点在于如何在 O(1) 时间算出每个「窗口」中的最大值,使得整个算法在线性时间完成。在之前的文章 一个通用思想解决股票问题 中我们探讨过类似的场景,得到一个结论:


在一堆数字中,已知最值,如果给这堆数添加一个数,那么比较一下就可以很快算出新的最值;但如果减少一个数,就不一定能很快得到新的最值了,而要遍历所有数重新找最值。


回到这道题的场景,窗口向前滑动的时候,要添加一个数同时减少一个数,所以想在 O(1) 的时间得出新的最值,就需要「单调队列」这种特殊的数据结构来辅助了。


一个普通的队列一定有这两个操作:


class Queue {
    void push(int n);
    // 或 enqueue,在队尾加入元素 n
    void pop();
    // 或 dequeue,删除队头元素
}


一个「单调队列」的操作也差不多:


class MonotonicQueue {
    // 在队尾添加元素 n
    void push(int n);
    // 返回当前队列中的最大值
    int max();
    // 队头元素如果是 n,删除它
    void pop(int n);
}


当然,这几个 API 的实现方法肯定跟一般的 Queue 不一样,不过我们暂且不管,而且认为这几个操作的时间复杂度都是 O(1),先把这道「滑动窗口」问题的解答框架搭出来:



这个思路很简单,能理解吧?下面我们开始重头戏,单调队列的实现。


二、实现单调队列数据结


首先我们要认识另一种数据结构 deque,即双端队列。很简单,就是一个普通队列的加强版:


class deque {
    // 在队头插入元素 n
    void push_front(int n);
    // 在队尾插入元素 n
    void push_back(int n);
    // 删除队头元素
    void pop_front();
    // 删除队尾元素
    void pop_back();
    // 返回队头元素
    int front();
    // 返回队尾元素
    int back();
}


而且,这些操作的复杂度都是 O(1)。这其实不是啥稀奇的数据结构,用链表作为底层结构的话,很容易实现这些功能。


「单调队列」的核心思路和「单调栈」类似。单调队列的 push 方法依然在队尾添加元素,但是要把前面比新元素小的元素都删掉:


class MonotonicQueue {
private:
    deque<int> data;
public:
    void push(int n) {
        while (!data.empty() && data.back() < n) 
            data.pop_back();
        data.push_back(n);
    }
};


你可以想象,加入数字的大小代表人的体重,把前面体重不足的都压扁了,直到遇到更大的量级才停住。


如果每个元素被加入时都这样操作,最终单调队列中的元素大小就会保持一个单调递减的顺序,因此我们的 max() API 可以可以这样写:

int max() {
    return data.front();
}


pop() 在队头删除元素 n,也很好写:


void pop(int n) {
    if (!data.empty() && data.front() == n)
        data.pop_front();
}


之所以要判断 data.front() == n,是因为我们想删除的队头元素 n 可能已经被「压扁」了,这时候就不用删除了:


至此,单调队列设计完毕,看下完整的解题代码:



三、算法复杂度分析


读者可能疑惑,push 操作中含有 while 循环,时间复杂度不是 O(1) 呀,那么本算法的时间复杂度应该不是线性时间吧?


单独看 push 操作的复杂度确实不是 O(1),但是算法整体的复杂度依然是 O(N) 线性时间。要这样想,nums 中的每个元素最多被 push_back 和 pop_back 一次,没有任何多余操作,所以整体的复杂度还是 O(N)。


空间复杂度就很简单了,就是窗口的大小 O(k)。


四、最后总结


有的读者可能觉得「单调队列」和「优先级队列」比较像,实际上差别很大的。


单调队列在添加元素的时候靠删除元素保持队列的单调性,相当于抽取出某个序列中单调递增(或递减)的子序列;而优先级队列(二叉堆)相当于自动排序,差别大了去了。


赶紧去拿下 LeetCode 第 239 道题吧~

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