如何优雅地证明平方差公式?

来自:是不是很酷,作者:liuyubobobo

聊点儿轻松的:)


出一个初中数学题:平方差公式怎么证明?


即,如何证明:a² - b² = (a + b)(a - b)




这个问题,在我们初中学习的过程中,证明思路大概是这样的:


首先,我们知道了多项式和的乘法公式,即:


(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd


然后,我们就可以把c = a,d = -b带进这个公式:


(a + b)(a + (-b)) = a*a + a*(-b) + b*a + b*(-b)


注意,中间的两项,a*(-b) 和 b*a 是相反的,所以可以消掉,就剩下了两项。a*a 和 b*(-b),即 a² - b²


所以我们证明出了:(a + b)(a - b) = a² - b²


当然,我们整个推导过程,每一步都是”等价于“,所以从左推到右和从右推到左都是可以的。我们就有了:


a² - b² = (a + b)(a - b)





上面的证明,是一个典型的代数证明。但是,代数证明的缺点是:太过抽象。


实际上,平方差公式有一个优雅的几何证明方式:)


因为一个数字的平方,就对应于以这个数字为边长的正方形的面积。


所以,我们可以想象:a² 是一个大正方形的面积;b² 是一个小正方形的面积。我们将两个正方形这么摆:



很显然,我们要求的 a² - b²,就是蓝色部分面积。




我们添加一条辅助线:



很显然,下面绿色部分的矩阵,面积是(a - b) * b;上面蓝色部分的矩形,面积是(a - b) * a。


我们要求的 a² - b²,就是把橙色部分的 b*b 的正方形扔掉,蓝色和绿色两部分面积之和。




由于这两个矩形,都有一个边是 a - b 这么长,我们可以把它们合起来。就是这样的:



这个矩形整体的面积是什么?就是 (a + b)(a - b) 啊!


得证:a² - b² = (a + b)(a - b)





对了,这篇文章的配图都是我在ipad上手绘出来的,允许我炫耀一下 


很多代数表达,都有很优雅的几何证明方式。


通常,几何证明的缺点是,有局限性。比如,在上面的证明中,其实隐含了很多假设:我们的a和b都必须是正数,同时,a还要比b大。但我们知道,平方差公式,是对任意数,甚至是复数,都成立的。


但是,几何证明最大的优点,是直观。它能帮助我们迅速将抽象的代数表达和具体的图形之间建立联系,帮助我们”看到“代数式到底在表达什么意思。


对于很多数学问题,直观的几何表达都能轻易帮助我们更快速的理解,之后,我们也能轻松将代数表达推广到更抽象的范围,比如数字是负数或者复数的情况:)


是不是很酷?


有机会,再向大家介绍更多代数问题的几何证明:)


大家加油!

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