为什么需要微积分

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微积分

我们知道数学是人类描述自然规律的语言将现实世界进行抽象,有了数学这个工具就能让我们对物体数量、物体结构、物体的空间、物体的运动等进行抽象量化描述。现今的数学已经发展出很多分支,微积分也属于其中的分支。微积分是微分学和积分学的总称,微分就是无限细分,积分就是无限求和。

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原始的数学

最原始的数学是常量的数学,属于静态的数学,更多的是研究关于“数(有理数)”的问题,以至于毕达哥拉斯学派的基本信条就是“万物皆数”。同时还会研究简单的“形”的问题。

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解析几何

后来的解析几何将算术、代数、几何三者统一起来,其基本思想是在平面中引入笛卡尔坐标系,数能映射到图形上的某个点,而图形又可以用方程表示。由此进入了动态数学时代,比如可以对物体运动进行研究。

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微积分的诞生

可以说微积分创立的直接推动力是现代科技的发展。数学发展到十七世纪时,有些问题仍然没有很好的计算解决工具。比如以下的一些基本问题:

  • 求变速运动的瞬时速度,比如行星椭圆轨迹运行时的瞬时速度。

  • 求曲线上的某个点的切线,比如望远镜设计时要确定透镜曲面的法线。

  • 求函数的最大、最小值,比如计算炮弹的最大射程。

以解析几何作为基础,为微积分的研究创立开辟了道路,它用于研究数、图形、运动以及变化。

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变速瞬时速度

变速运动的瞬时速度即取两点,然后将△t
无限趋于0,即能求得曲线每个点的瞬时速度。

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切线

与瞬时速度相似,切线就是求导。

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最大最小值

关于函数的极值研究人工智能的人应该相当熟悉,优化算法中将损失函数最小化的过程就会涉及。

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人工智能与微积分

目前的人工智能更多是基于机器学习,其中很多算法都需要微积分这个工具。相关概念有凸优化、多元函数、偏导、神经网络中反向传播使用的链式法则、用多项式逼近描述高阶导数的泰勒级数、牛顿法、梯度下降法等等。

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理论发展

微积分理论由许多科学家和数学家共同努力才得以完善,而牛顿和莱布尼茨被认为是共同发明创立了微积分学。他们分别从不同角度和问题进行描述,牛顿的出发点是力学,而莱布尼茨的出发点是几何。牛顿偏向于不定积分,而莱布尼茨偏向于定积分。莱布尼茨创造的微积分符号更优秀,并沿用至今。

微积分意义

  • 促进了数学的发展,解析几何与微积分使得数学从静态数学扩展到动态数学,至此数学能够描述变化、运动。

  • 微积分为各个学科提供了广泛有用的研究工具,特别是物理、化学、生物、地理、金融等等。

  • 推动人类进程,微积分是人类研究自然规律的基本工具,使人们对事物的认知有了飞跃。揭示了变量与常量、无限与有限的辩证统一关系。

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