1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12?这不是一个愚人节玩笑。

来自:是不是很酷,作者:liuyubobobo

1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞,结果是多少?当然是正无穷了!嗯。这个答案显然没毛病。不过,在这篇文章中,我将严谨的证明出:1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞也可以等于-1/12。你没有看错,无穷多的连续自然数的“和”,也可以是一个负数;不仅如此,还是一个负分数。这并不是一愚人节的玩笑:)


和所有的数学证明一样,如果对于一个命题,通过不同的计算或者思路,我们可以求解出两个不同的答案,或者相互矛盾的结论的话,通常,我们对此一定能找到一个合理的解释。或者是其中的一个证明是错的,或者是讨论问题的角度是完全不同的。


最简单的例子:初中认真学习数学的同学一定知道:初中数学的一大重点是一元二次方程,对应在解析几何中,就是大名鼎鼎的二次函数:抛物线。在初中,我们经常会说,一个一元二次方程没有解。但是,当我们将数字范围扩充到复数域的时候,我们就会明白,任何一个一元二次方程,一定是有解的。只不过,一个一元二次方程在实数范围内,可能是无解的;但在复数范围内,一定有解。你看,当我们讨论问题的范围改变了,定义改变了,就会得到截然不同,甚至是完全相反的结论。


要看懂这篇文章,你只需要有初中水平的数学知识就够了;在文章最后,我会简单阐述为什么会有这样反直觉的结论,这部分内容,需要你有本科高等数学的基础知识,大一上的高等数学就够了。但是,如果有些同学在本科或者研究生学习过复变函数的话,就会明白,这个问题背后,隐藏着更加深刻的内容,结论和应用。对于这些内容,由于篇幅原因和定位原因,这篇文章不会涉及。所以,如果你系统学习过复变函数,这篇文章毫无价值,至此结束:)




下面,为了证明出 1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12,我们先来证明另外两个结论。


第一个结论:


1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ = 1/2


即1,-1这两个数字交替出现的无穷序列,其和为1/2。


我们假设这个和存在,记为A,则:

A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...


所以,1 - A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1  ...)


如果我们把小括号去掉:

1 - A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...


前两项 1 - 1 的结果显然为0,我们的式子就变成了:

1 - A = 0 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...


等等,0后面那一串是什么?1,-1这两个数字交替出现,就是 A 啊!所以,我们得到了:

1 - A = 0 + A


所以:2A = 1,A = 1/2。得证:)


看,根据我们的推导,一连串整数的和(1和-1),结果竟然是一个分数。


下面,我们来证明出另外一个结论:


1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ⋯ = 1/4


即,自然数序列,但是符号是正负交替的,这一系列整数的和为 1/4。


我们假设这个和存在,记为B,则:

B = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ...


下面,我们要使用一下上面我们证明的A序列。我们用A减去B,则有:


A - B = (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...) - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...)


如果将小括号去掉,并且让A的每一项都和B的对应项配对,就有:


A - B = (1 - 1) + (-1 + 2) + (1 - 3) + (-1 + 4) + (1 - 5) + (-1 + 6) + ...


我们计算出每个小括号的结果,他们是有规律的:


A - B = 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ...


发现了什么?A - B 的结果,就是 0 再加上B这个序列和!


A - B = 0 + B


所以: 2B = A


又因为,我们上面已经证明出了,A = 1/2,所以:


B = 1/4


WOW!我们离我们的目标已经很接近了。下面,我们就来证明:


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12


我们假设这个和存在,记为C,则:

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...


下面,我们要使用一下上面我们证明的B序列的和。我们用B减去C,则有:


B - C = (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...) - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...)


依然是,我们将小括号去掉,并且让B的每一项都和C的对应项配对,就有:


B - C = (1 - 1) + (-2 - 2) + (3 - 3) + (-4 - 4) + (5 - 5) + (-6 - 6) + ...


发现规律了吗?B-C 的所有奇数项都为0,偶数项则是: -2-2=-4, -4-4=-8, -6-6=-12, ...


所以,我们有:


B - C = 0 - 4 + 0 - 8 + 0 - 12 + ...


B - C = - 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - ...


B - C = -4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...)


看看小括号里是谁?就是C啊!所以:


B - C = -4C


我们得到:-3C = B


再将之前证明得到的B = 1/4 带进去。得到:


C = -1/12。得证:)


其实,为了证明出这个结果,还有其他的方法。但我觉得这个方法最简单,小学生都能看懂:)


“问题”出在哪里?


好了,我们已经非常“严谨地”证明出了:1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12。但这显然和常识不符合。无穷的正整数的和,怎么可能是个负数?还是个分数?问题出在哪里?


如果同学们仔细看我上面求解A, B, C三个无穷序列的和的过程,就会发现,我一直再说这样一句话:


我们假设这个和存在,记为A(或B, 或C)


问题的关键就在于。这个和真的存在吗?


答案是,在我们通常的研究范畴中,这个和是不存在的。熟悉高等数学的同学会知道,我一直在做的事情,其实就是在计算一个无穷数列的和,即在高等数学中的无穷级数求和问题。一个无穷数列的和可以被计算出来,其前提条件是,这个无穷序列是收敛的。但是,上面A, B, C这三个序列都是发散的(具体证明在这里省略,有兴趣的同学可以复习/学习一下,如何判断无穷级数的敛散性)。所以,“假设这个和存在”中的假设根本不成立,把他们记为A, B, C也就没有意义,后面的推导都没有意义。


但是!所有的事情,似乎都有“但是”:)


和前面举的一元二次方程的例子一样。x^2 + 1 = 0,这个方程有解吗?如果我们站在实数的视角看。本质就是在问我们:根号-1的解是多少?答案是,这个数字没有意义,所以这个方程式无解的。


但是,如果一旦我们定义:根号-1是i,砰!这个方程有解了!不仅这个方程有解了,我们还发明出了数学领域的一个重要的工具——复数。这个工具,可以帮助我们解决大量的其他数学问题。


对于这个问题,是同样的。虽然通常来看,1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ 结果肯定不是一个值,而是无穷大。但是一旦我们将其想成一个值,却能推导出这个值是-1/12。自然数还是那些自然数,于是,数学家们说,其实,在这个式子中,我们用的加法,不是通常意义的加法,而是一种特殊的加法(具体这种加法为什么不能看做通常意义的加法?因为他不满足很多通常意义的加法性质。具体不满足哪些性质?要都写出来太繁琐了。如果大家有兴趣,有时间可以单独成文。),叫做拉马努金加法;这个和,也可以称为拉马努金和(Ramanujan Summation)。顾名思义,这一切是一个叫做拉马努金的数学家提出来的。


所以,严格意义上讲,我们应该这样表示上面的结果。


看到后面的花体大R了吗?他就表示,我们的这个结果,是拉马努金加法的结果。英文是Ramanujan Summation,取首字母R表示。


拉马努金是何许人?两个字:天才;四个字:空前绝后。


拉马努金是一名来自印度的数学家,没有任何家庭背景,也没有受过专业的数学训练,一路自学成才,依靠其对数学强大的直觉,不仅解决了很多数学难题,更提出了很多前无古人的大胆数学结论。他一生提出了3900多条新的数学公式和命题,这之中的很多成果,后来被证实,可以被完美地应用在量子物理学中,解决量子力学,量子场论等领域中遇到的无穷大问题。近年来,一些宇宙学家在研究黑洞的时候,也用到了拉马努金的一些研究成果。直至今日,人们还能从其研究中挖掘出宝藏。甚至,有人称拉马努金是从未来穿越回来的数学家。以后有时间,我们可以更多地介绍这个人:)


比起计算机科学家,其实我是更向往数学家的。因为数学家更纯粹。在他们解决一个个问题的时候,并不知道这些问题有什么用,或者有什么意义。大多数数学成果,都要经过几十年后,才会在实际的科学技术中扮演应有的重要角色。预测正在进行的某些数学成果在未来会有什么重要意义或者应用,几乎是不可能的。


所以,数学家们或许只是觉得:这一切很美,很好玩。

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