懵逼树上懵逼果:学习二分搜索树

来自:五分钟学算法(微信号:blgczzz),作者:程序员小吴

懵逼二叉树

懵逼树上懵逼果

懵逼树下你和我。

一人一颗懵逼果,

一起学二分搜索。


数组、栈、队列、链表都是线性结构,树则是另外一种极其重要的数据结构。

树的种类有很多种,我们先从简单的 二分搜索树 开始树的学习。

二分查找法

二分查找法定义

是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。

搜索过程从数组的中间元素开始,如果中间元素正好是要查找的元素,则搜索过程结束;

如果某一特定元素大于或者小于中间元素,则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找,而且跟开始一样从中间元素开始比较。

如果在某一步骤数组为空,则代表找不到。

这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

动画演示

动画说明

注意:二分查找的前提是数列必须是有序的。

  • 目标是搜索数字 5

  • 首先,检查有序数列中心的数字,这里查找到时数字 4

  • 4 与 将要搜索的数字 5 进行比较,由于 4 小于 5,图中可以发现 5 在 4 的右边

  • 这时,就不需要观察 4 左边的数字了,置灰删除掉

  • 检查剩余有序数列中心的数字,这时是 5

  • 找到了这个数字

二叉查找树(Binary Search Tree)基础

二叉查找树也可叫做二分查找树。

它不仅可以查找数据,还可以高效地插入、删除数据。

特点:每个节点的key值大于左子节点,小于右子节点。

注意它不一定是完全的二叉树。

class Node {
  E e;
  Node left;  // 左孩子
  Node right; // 右孩子
}

二叉查找树有两个属性:

  • 所有节点都比左子树中的节点大

  • 所有节点都小于右子树中的节点

通过这两个属性,可以推断出以下结论:

  • 二叉查找树最小的节点位于最顶端节点的最左边子树行的末尾(如图数字 3 )

  • 二叉查找树的最大节点位于最顶端节点的最右边的子树行的末尾(如图数字 28 )

通过以下方式的进行添加元素与删除元素的操作,可以保留二叉查找树的完整性。

我们通过两组添加元素,三组删除元素,一组查找元素的操作来理解二叉查找树的属性性质。

添加元素操作

核心思想:从根节点开始找插入的位置,满足二叉搜索树的特性,比左子节点大,比右子节点小.

步骤:

  • 从根节点开始,先比较当前节点,如果当前节点为null那么就插入到这个节点。

  • 如果上面的节点不是null,那么和当前节点比较,如果小于节点就往左子树放,如果大于节点就往右子树放。

  • 然后分别对左子树或者右子树递归的递归进行如上 1 、 2 步骤的操作

添加元素 1

  • 从二叉查找树的最顶端节点开始,去找到附加节点的正确位置

  • 由于 1 < 15 , 向左走

  • 1 < 9 ,继续向左走

  • 1 < 3,继续向左走,但因为没有节点在其后序前方,因此将它作为一个新节点进行添加

添加元素 4

  • 同样的从二叉查找树的最顶端节点开始,去找到附加节点的正确位置

  • 由于 4 < 15 , 向左走

  • 4 < 9 ,继续向左走

  • 4 > 3,向右走

  • 4 < 8,向左走,但因为没有节点在其后序前方,因此将它作为一个新节点进行添加

代码实现

删除元素操作

步骤:

  • 找到左子树中找左子树中所有节点的最大的节点

  • 将这个节点赋值到删除节点的位置

删除元素 28

  • 该节点没有子类,直接删除

删除元素 8

  • 该节点有1个子类

  • 目标节点被删除,将子节点移动到已删除节点的位置

删除元素 9

  • 该节点有2个子类

  • 目标节点被删除,从删除节点的左子树中找到最大的节点,将其移到到删除的节点的位置

代码实现

查找元素操作

查找元素 12

  • 同样的,从二叉查找树的最顶端节点开始搜索

  • 12 < 15 ,向左走

  • 12 > 4 ,向右走

  • 找到 12

代码实现

可以看出,使用二叉查找树可以实现高效搜索。


但是如果树接近形成直线,那么搜索效率将极其差,变成了线性搜索。

因此二叉查找树就需要进行改进为平衡二叉树,比较常见的 Balanced Binary Tree有:

  • 红黑树

  • tree

  • AVL tree

  • Splay tree

  • Treap

二分搜索树的遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。二叉树的遍历有三种:

  • 前序遍历(Preorder Traversal):先访问当前节点,再依次递归访问左右子树

  • 中序遍历(Inorder Traversal):先递归访问左子树,再访问自身,再递归访问右子树

  • 后序遍历(Postorder Traversal):先递归访问左右子树,最后再访问当前节点。

前序遍历

中序遍历

后序遍历

具体分析可查看博主的前面的文章《【图解数据结构】 一文弄懂二叉树三种遍历》。

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